Acertijos

Séptimo Acertijo

Con­si­de­ra­mos las fun­cio­nes de varia­ble real de la for­ma \(f(x) = ax + b\) sien­do \(a\), \(b\) núme­ros reales y don­de \(x\) reco­rre los reales. Vamos a defi­nir \(f^2(x) = f(f(x))\), \(f^3(x) = f(f(f(x)))\), \(f^n(x) = f(f^{n‑1}(x))\).  

Es decir, apli­car la fun­ción \(n\) veces.

Ejem­plo: si \(f(x) = 2x+2\) enton­ces $$f(f(x)) =f(2x+2) = 2\times(2x+2) +2 = 4x+6.$$

¡Que­da poco para que cam­bie­mos de año! Así que nos vamos a cen­trar en los núme­ros 2018 y 2019 y os pedi­mos lo siguien­te como pro­ble­ma:

  1. ¿Qué fun­cio­nes de la for­ma \(f(x) = ax + b\) cum­plen que \(f^{2019}(x) = x\) para todo valor \(x\) real?
  2. ¿Qué fun­cio­nes de la for­ma \(f(x) = ax + b\) cum­plen que \(f^{2018}(x) = x\) para todo \(x\) real?