Demostraciones

Al llegar a la carrera de matemáticas afrontarás muchos problemas, teoremas, corolarios... todos ellos con su correspondiente demostración. Y, aunque cuesta acostumbrarse a tener que demostrar todos los resultados que se utilizan, este proceso es fundamental en las matemáticas: todo lo que digas debe estar construído de manera lógica.

Todo esto está muy bien, pero en la práctica, ¿cómo puedes demostrar un resultado? Hay muchos métodos (demostración directa, por contrarrecíproco, por exhaución, por conteo o incluso en algunos casos con ayuda de ordenadores), pero aquí vamos a ver solamente tres.

Demostración por inducción

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los números números naturales (es decir, $\mathbb{N} = \lbrace 1, 2, 3, \dots\rbrace$). Vamos a demostrar que la suma de los primeros $n$ números naturales es exactamente

En primer lugar, es fácil ver que es cierto para $n=1$. En efecto, $$1 = \frac{1 (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$ Supongamos que se cumple para $n$, y veamos que entonces también se cumplirá para $n+1$. En efecto, $$ 1 + 2 + \cdots + (n+1) = (1 + 2 + \cdots + n) + (n+1).$$ Por nuestra suposición, la primera suma es exactamente $\frac{1}{2}n(n+1)$. Entonces $$ 1 + 2 + \cdots + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left( \frac{n}{2} + 1 \right).$$ Simplificando la ecuación anterior se obtiene $$ 1 + 2 + \cdots + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1) \frac{(n+1) + 1}{2}.$$ Es decir, también se cumple lo previsto para $n+1$. Esto concluye la demostración.

Un momento, ¿cómo es que hemos acabado? ¿Por qué es válida la fórmula para $n = 7$? A la vista del segundo paso, bastaría en realidad comprobar que se cumple en el caso $n = 6$. Pero para $n = 6$ bastaría entonces comprobar el caso $n = 5$. Y siguiendo este proceso, llegamos a que gracias al segundo paso solo hay que comprobar el caso $n=1$, que ya hemos visto que es cierto. Por lo tanto, la fórmula se cumple para $n = 7$ (y, en general, para cualquier valor de $n$).

Demostración por reducción al absurdo

¿Quieres demostrar que algo es cierto? Entonces una estrategia muy útil es suponer que es falso y llegar a una contradicción. Y como es absurdo llegar a una contradicción, el error tiene que ser haber supuesto que lo que querías demostrar era falso.

Vamos con un ejemplo: demostremos que $\sqrt{2}$ es irracional. Supongamos lo contrario, es decir, que $\sqrt{2}$ es un número racional y lo podemos escribir como $\sqrt{2} = a/b$, donde $a$ y $b$ no tienen factores comunes (es decir, lo escribimos como una fracción lo más reducida posible). Entonces podemos decir $$ 2 = \frac{a^2}{b^2}, ~\textrm{es decir,}~~~ 2b^2 = a^2. $$ A la izquierda de la última igualdad hay un número par, por lo tanto a la derecha debe haberlo, es decir, $a^2$ es par. Esto significa que $a$ también debe ser par, y por lo tanto podemos reescribir $a = 2c$, luego $$ 2 b^2 = (2c)^2 = 4 c^2 \Rightarrow 2c^2 = b^2. $$ Repetimos entonces ahora el mismo argumento: $b^2$ es par, y por lo tanto $b$ también. Pero, un momento: esto significa que tanto $a$ como $b$ son números pares, por lo tanto tienen un divisor común (el $2$). Esto contradice lo que habíamos supuesto al principio (que $a/b$ era una fracción reducida), con lo que llegamos a una contradicción. Y la única posibilidad es que la contradicción esté en suponer que $\sqrt{2} = a/b$, por lo tanto deducimos que la raíz cuadrada de dos debe ser irracional.

El principio del palomar

Si tienes más palomas que palomares, en un palomar debe haber dos palomas. Esa frase puede parecer una tontería, pero tiene un contenido matemático muy profundo.

Principio del palomar: si tenemos $n$ objetos sacados de $m$ categorías diferentes, con $n > m$, entonces tendremos al menos dos objetos de la misma categoría.

¿Y esto para qué vale? Por ejemplo, para decir que en un grupo de 13 personas habrá dos cuyo cumpleaños sea el mismo mes (en este caso, las categorías serían los 12 meses y los objetos las trece personas). O, si tomamos tres ciudades al azar, habrá dos que compartan hemisferio.

Problemas para practicar

Demostraciones por inducción:

• $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n-1} - 1$.

• $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$.

• $(a-b)$ divide a $a^n - b^n$ para todas las parejas de $a$ y $b$ enteros.

Demostraciones por reducción al absurdo:

• Hay infinitos números primos.
• La suma de un número racional y otro irracional es siempre irracional.
• Si $a$ y $b$ son números enteros, entonces $a^2 - 4b \neq 2$.

Demostraciones por palomar:

• Dados cinco puntos en una esfera, hay cuatro en la misma semiesfera.
• ¿Cuántos alfiles puedes colocar en un ajedrez sin que ninguna pareja se ataque?

Otros problemas interesantes:

• Es fácil cubrir un tablero de ajedrez con fichas de dominó, de manera que cada ficha ocupe exactamente dos casillas. Pero, ¿sigue siendo posible si eliminamos dos esquinas opuestas del tablero?
• Si seleccionamos aleatoriamente un grupo de personas y contamos el número de amigos que cada uno tiene dentro del grupo, habrá dos personas con el mismo número de amigos.