Consideramos las funciones de variable real de la forma \(f(x) = ax + b\) siendo \(a\), \(b\) números reales y donde \(x\) recorre los reales. Vamos a definir \(f^2(x) = f(f(x))\), \(f^3(x) = f(f(f(x)))\), \(f^n(x) = f(f^{n‑1}(x))\).
Es decir, aplicar la función \(n\) veces.
Ejemplo: si \(f(x) = 2x+2\) entonces $$f(f(x)) =f(2x+2) = 2\times(2x+2) +2 = 4x+6.$$
¡Queda poco para que cambiemos de año! Así que nos vamos a centrar en los números 2018 y 2019 y os pedimos lo siguiente como problema:
- ¿Qué funciones de la forma \(f(x) = ax + b\) cumplen que \(f^{2019}(x) = x\) para todo valor \(x\) real?
- ¿Qué funciones de la forma \(f(x) = ax + b\) cumplen que \(f^{2018}(x) = x\) para todo \(x\) real?