Acertijos

Octavo Acertijo

Se tie­ne un sis­te­ma for­ma­do por los siguien­tes sím­bo­los: \(G, E, B\). Las expre­sio­nes de este sis­te­ma están for­ma­das por com­bi­na­cio­nes de las letras ante­rio­res. Como en todo sis­te­ma, no toda com­bi­na­ción posi­ble de sím­bo­los es válida(por ejem­plo, en mate­má­ti­cas, \(2+2=5\) es una cade­na bien for­ma­da, pero no es váli­da). Para obte­ner las cade­nas váli­das del sis­te­ma hacen fal­ta unos axio­mas, que son las pro­po­si­cio­nes asu­mi­das, y unas reglas, las cua­les toman pre­mi­sas y devuel­ven una con­clu­sión. Si estas reglas se apli­can sobre los axio­mas o sobre cade­nas váli­das devol­ve­rán cade­nas váli­das. Nues­tro axio­ma es la cade­na \(GE\). Nues­tras reglas son:

  1. Si se tie­ne una cade­na cuya últi­ma letra es \(E\), se pue­de aña­dir una \(B\) al final.Por ejem­plo, dado \(BE\), se pue­de obte­ner \(BEB\).
  2. Si se tie­ne una cade­na de la for­ma \(Gx\), se tie­ne \(Gxx\). Aquí \(x\) repre­sen­ta una cade­na cualquiera.Algunos ejem­plos: dado \(GEB\), se pue­de obte­ner \(GEBEB\). Dado \(GBGE\), se pue­de obte­ner \(GBGEBGE\).
  3. Si en una cade­na se tie­ne la secuen­cia \(EEE\), se pue­de obte­ner una nue­va cade­na sus­ti­tu­yen­do \(EEE\) por \(B\). Por ejem­plo, dado \(GEEEGB\), se pue­de obte­ner \(GBGB\).
  4. Si en una cade­na se tie­ne la secuen­cia \(BB\), se pue­de obte­ner una nue­va cade­na eli­mi­nan­do \(BB\). Por ejem­plo, dado \(GBBE\), se pue­de obte­ner \(GE\).

Par­tien­do de nues­tro axio­ma, \(GE\), ¿se pue­den obte­ner las siguien­tes cade­nas apli­can­do las reglas (es decir, son váli­das)?

  • \(E\).
  • \(GEBBE\).
  • \(GBEEB\), con la con­di­ción de que no apa­rez­can más de 4 \(E\) segui­das en nin­gún paso.
  • \(GB\).

Si la res­pues­ta es afir­ma­ti­va, hay que dar los pasos para obte­ner­la. En caso nega­ti­vo, hay que expli­car por qué no se pue­de.

Nota: las reglas solo se pue­den usar una a la vez. Por ejem­plo, si se tie­ne \(GBBEBB\) y se quie­re obte­ner \(BE\) hay que hacer­los en dos pasos, apli­can­do la regla 4 dos veces: \(GBBEBB \to GEBB \to GE\).