Los isótopos radiactivos se utilizan, entre otras cosas, para la determinación de las edades de rocas o restos de seres vivos. Para esto último, el método más utilizado es el que emplea un radioisótopo natural del carbono, el carbono-14. El carbono es uno de los elementos químicos más abundante en la naturaleza que, además está presente en todos los seres vivos. Hay dos isótopos estables de carbono, el carbono-12 y el carbono-13, y varios radiactivos. De estos últimos, todos salvo el carbono-14 tienen una vida media muy corta. Por contra, la vida media del carbono-14 es de, aproximadamente, 5730 años. Mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, es fácil calcular la edad de fósiles o rocas.
El carbono 14 en los seres vivos
En los organismos vivos la proporción de carbono-14 en los átomos de carbono se mantiene constante. Cuando un organismo muere deja de tomar carbono de su entorno por lo que la cantidad de carbono-14 en dicho organismo.La cantidad decrece a un ritmo constante a causa de la desintegración radiactiva. Esto hace que la relación entre los isótopos de carbono-14 y carbono-12 presentes disminuya según va pasando el tiempo. Como la proporción entre ambos isótopos es constante en todos los organismos vivos, se puede determinar el momento de la muerte de un organismo determinado midiendo la proporción de esos dos isótopos.
Tomando 5730 años como la vida media del carbono-14 se obtiene que su constante de desintegración es k = log(2)/5730. Para redondear, usaremos k = 1.21 · 10-4.
Determinación de edades
Analizando la relación entre el número de isótopos de carbono-12 y carbono-14 presentes en una muestra del material que queremos fechar, es posible calcular el porcentaje de carbono-14 que aún queda. Supongamos que ese porcentaje en el momento t1 es una fracción p de la cantidad, S0, de carbono-14 que había cuando la muestra dejó de absorberlo, denotando por t0 al instante en que esto ocurrió. Haciendo uso de que la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de cierto tipo puede venir dada por S(t) = c·e(-k·t), donde c es una constante y k es nuestra constante de desintegración, obtenemos lo siguiente:
P·S0 = S(t1) = S0·e(-k·(t0-t1)). Simplificando nos queda p = e(-k·(t0-t1)), luego ln℗ = ‑k·(t0-t1). En conclusión: t0 = t1 + ln℗/k.