Matemáticas aplicadas

Determinación de edades

Los isó­to­pos radiac­ti­vos se uti­li­zan, entre otras cosas, para la deter­mi­na­ción de las eda­des de rocas o res­tos de seres vivos. Para esto últi­mo, el méto­do más uti­li­za­do es el que emplea un radio­isó­to­po natu­ral del car­bono, el car­bono-14. El car­bono es uno de los ele­men­tos quí­mi­cos más abun­dan­te en la natu­ra­le­za que, ade­más está pre­sen­te en todos los seres vivos. Hay dos isó­to­pos esta­bles de car­bono, el car­bono-12 y el car­bono-13, y varios radiac­ti­vos. De estos últi­mos, todos sal­vo el car­bono-14 tie­nen una vida media muy cor­ta. Por con­tra, la vida media del car­bono-14 es de, apro­xi­ma­da­men­te, 5730 años. Median­te ecua­cio­nes dife­ren­cia­les ordi­na­rias, es fácil cal­cu­lar la edad de fósi­les o rocas.

El carbono 14 en los seres vivos

En los orga­nis­mos vivos la pro­por­ción de car­bono-14 en los áto­mos de car­bono se man­tie­ne cons­tan­te. Cuan­do un orga­nis­mo mue­re deja de tomar car­bono de su entorno por lo que la can­ti­dad de car­bono-14 en dicho organismo.La can­ti­dad decre­ce a un rit­mo cons­tan­te a cau­sa de la desin­te­gra­ción radiac­ti­va. Esto hace que la rela­ción entre los isó­to­pos de car­bono-14 y car­bono-12 pre­sen­tes dis­mi­nu­ya según va pasan­do el tiem­po. Como la pro­por­ción entre ambos isó­to­pos es cons­tan­te en todos los orga­nis­mos vivos, se pue­de deter­mi­nar el momen­to de la muer­te de un orga­nis­mo deter­mi­na­do midien­do la pro­por­ción de esos dos isó­to­pos.

Toman­do 5730 años como la vida media del car­bono-14 se obtie­ne que su cons­tan­te de desin­te­gra­ción es k = log(2)/5730. Para redon­dear, usa­re­mos k = 1.21 · 10-4.

Determinación de edades

Ana­li­zan­do la rela­ción entre el núme­ro de isó­to­pos de car­bono-12 y car­bono-14 pre­sen­tes en una mues­tra del mate­rial que que­re­mos fechar, es posi­ble cal­cu­lar el por­cen­ta­je de car­bono-14 que aún que­da. Supon­ga­mos que  ese por­cen­ta­je en el momen­to t1 es una frac­ción p de la can­ti­dad, S0, de car­bono-14 que había cuan­do la mues­tra dejó de absor­ber­lo, deno­tan­do por t0 al ins­tan­te en que esto ocu­rrió. Hacien­do uso de que la solu­ción gene­ral de una ecua­ción dife­ren­cial ordi­na­ria de cier­to tipo pue­de venir dada por S(t) = c·e(-k·t), don­de c es una cons­tan­te y k es nues­tra cons­tan­te de desin­te­gra­ción, obte­ne­mos lo siguien­te:

P·S0 = S(t1) = S0·e(-k·(t0-t1)). Sim­pli­fi­can­do nos que­da p = e(-k·(t0-t1)), lue­go ln℗ = ‑k·(t0-t1). En con­clu­sión: t0 = t1 + ln℗/k.